E existe um mito de que aplicar esta técnica PID em um sistema microcontrolado é uma tarefa muito complicada, o que não é verdade! Este artigo vem apresentar de uma maneira detalhada como funciona o conceito PID e também como podemos portá-lo para um simples microcontrolador PIC utilizando aproximações matemáticas, que reduzem drasticamente a necessidade do processamento pesado dos cálculos Integrais e Derivativos, sem comprometer a precisão final obtida com o PID.
É claro que não podemos fugir dos cálculos Integrais e derivados, já que estes são a base do PID, entretanto, no fim deste artigo, quando aproximamos matematicamente a equação PID, esta se torna linear e muito intuitiva.
É claro que não podemos fugir dos cálculos Integrais e derivados, já que estes são a base do PID, entretanto, no fim deste artigo, quando aproximamos matematicamente a equação PID, esta se torna linear e muito intuitiva.
Um pouco de Controle
Segundo Ogata, o mestre do controle moderno, com a evolução da
indústria, veio à modernização também das técnicas de controle automatizado que
é hoje de suma importância para o avanço da Engenharia. O controle está presente em sistemas
robóticos, na indústria aeronáutica, em veículos espaciais e hoje é parte
integrante e indispensável dos processos de fabricação modernos. Além de estar
presente nos equipamentos de produção, tem papel fundamental no controle das
utilidades necessárias aos processos, tais como, pressão, viscosidade, vazões,
umidade e temperatura, entre outros.
O controle automático viabiliza a obtenção de ótimo
desempenho em sistemas dinâmicos, aumenta a produtividade, suprime a atuação
manual exaustiva, custosa e passível de falhas.
James Watt construiu no século XVIII um controlador
centrífugo para máquinas a vapor, tendo esse sido considerado o primeiro
trabalho importante no tema controle automático. Minorsky em 1922 conseguia
determinar a estabilidade de navios através de equações diferenciais. Nyquist em 1932 aplicou excitações senoidais
em sistemas de malha aberta, conseguindo obter estabilidade em controles com
malhas fechadas. Dois anos mais tarde, Hazen desenvolvia sistemas de controle
de posição, através de servo mecanismos a reles.
Os anos 40 foram marcados pelo desenvolvimento do
método chamado Lugar das Raízes. O método do Lugar das Raízes foi desenvolvido
por W. R. Evans e apresentado em um artigo publicado em 1948. Este método tem
por objetivo representar graficamente o deslocamento dos pólos de malha-fechada
de um sistema linear quando sujeito a variação de um ou mais parâmetros.
A base da teoria clássica de controle são os métodos
de resposta à frequência e do lugar das raízes. Constituem sistemas “aceitáveis”,
mas não ainda não eram o que chama de controle “ótimo”. Nos anos 50 buscava-se
a solução “ótima” para um problema segundo um critério específico. Mas ainda se
tratava de sistemas limitados, onde havia apenas uma entrada e uma saída.
Com a chegada dos computadores digitais nos anos 60,
tornou-se possível a análise de sistemas complexos no domínio do tempo,
evoluindo para a teoria de controle moderno, que se baseia em analise de
síntese através de variáveis de estado, tendo evoluído até os anos 80, o
controle determinístico.
De 80 até hoje, os desenvolvimentos
da teoria moderna têm sido concentrados em controles robustos, os computadores
evoluíram, se tornando mais compactos, velozes e mais baratos e seu emprego nos
sistemas de controle é cada vez maior.
Um sistema de controle é
basicamente formado por um núcleo provido por entradas e saídas, conforme a
figura abaixo, o núcleo, ou processo é responsável por receber adequadamente os
sinais de entradas e tratar os sinais de saída para que executem o que o sistema
propõe.
O Processo, ou planta, é um
sistema dinâmico, seu comportamento é descrito através de modelos matemáticos
de equações diferenciais. A entrada u(t) é chamada de variável de
controle ou variável manipulada (MV) e a saída y(t) é chamada de variável controlada ou variável
de processo (PV).
Desta maneira se caracteriza um Sistema de Controle em Malha Aberta, onde o sinal de saída não afeta a ação
de controle. Nesse sistema o sinal de saída não é medido e nem enviado de volta
para comparação com o desejado. Tomemos como exemplo uma máquina de lavar
roupas, que tem várias operações sequenciais programadas, como, molho, lavar,
enxaguar e centrifugar, todas essas realizadas em função do tempo. Passado o
tempo as operações são finalizadas e não é medido se a roupa ficou limpa ou
não, se o efeito da centrifugação foi suficiente ou não.
As programações são realizadas por meio de testes
prévios e não há qualquer ajuste durante o processo. Essas programações são realizadas por meio de
calibrações. Em havendo a ocorrência de qualquer distúrbio correção alguma será
aplicada. Assim sendo, esse sistema de controle só deve ser aplicado em
processos onde se garante a inexistência de distúrbios internos ou externos e
onde se conhece muito bem as relações entre entrada e saída.
Nesse sistema as ações são tomadas somente em função
do tempo. Um exemplo clássico são os semáforos operados com base no tempo.
Já em um Sistema
de Controle em Malha Fechada é mantida uma relação previamente estabelecida
entre a grandeza de saída y(t) e a de
referencia r(t), comparando ambas e utilizando a diferença entre
elas, chamada de erro e(t), como meio de controle. Sobre este sinal de erro e(t) são aplicadas
operações matemáticas a fim de fazer com que seu valor chegue à zero, o que
significa que a situação de controle foi alcançada.
O corpo humano é um exemplo de controle complexo por
malha fechada. A pressão sanguínea e a temperatura do corpo são mantidas
constantes por retroação fisiológica. Por exemplo, o corpo humano sendo submetido
a um ambiente aquecido transpira em busca do equilíbrio térmico, esse pode ser
considerado um efeito de retroação.
Em sistemas de malha fachada, o uso da retroação o
torna insensível aos distúrbios internos ou externos, tornando possível um controle
preciso utilizando-se componentes de baixo custo. A busca pela estabilidade
pode ser um problema nesses sistemas, pois eles induzem a tendência de correção
de erros além do necessário, podendo causar oscilações de amplitude constante
ou mesmo crescente com o decorrer do tempo.
Em sistemas, nos quais conhecemos as entradas e não há
ocorrência de distúrbios é aconselhável o emprego de sistema a malha aberta. Os
controles a malha fechada deverão ser empregados quando houver perturbações
imprevisíveis. Há casos onde se pode empregar um sistema misto, ou seja, uma
combinação entre controle a malha aberta e a malha fechada.
Métodos de Controle
Existem mundialmente, infinitos métodos para se controlar uma variável em um processo automatizado. Algumas delas muito difundidas e pesquisadas em todo mundo acadêmico, desde o controle On-Off, passando pelo PID, logica difusa (controle Fuzzy) até as recentes redes neurais que despontam na vanguarda do controle automatizado e prometem muito para um futuro muito próximo.Controle ON-OFF
Em se tratando de controle de
temperatura, uma grande parcela dos sistemas encontrados no mercado utilizam
ainda o método On-Off que consiste em se determinar uma temperatura de
trabalho, chamada de setpoint, onde
o sistema de refrigeração irá operar de modo a ligar a refrigeração em sua
máxima potência quando detectada temperatura acima do “setpoint” e mantê-la
ligada até a temperatura se torne menor que o valor do “setpoint”.
Neste método de controle, o sistema
atua através de um termostato, conforme a figura:
Figura - Sistema
de Controle ON-OFF
O sinal de controle u(t) só pode assumir dois valores, ligado ou
desligado, conforme o valor do erro apresentado seja positivo ou negativo.
Matematicamente:
Podemos notar que não existe valor de u(t) quando e(t) = 0, isso causa uma grande variação na
temperatura do ambiente controlado que em muitos casos pode aceitar esta
variação.
Um grande problema deste sistema ocorre
quando a temperatura y(t) está muito próxima ao valor do setpoint r(t). Neste caso, u(t) poderá entrar em oscilação devido à
proximidade destes valores. Para resolver este problema podemos utilizar o
método de controle ON-OFF com histerese, conforme figura abaixo.
Figura - Sistema
de Controle ON-OFF com histerese
Esta modificação pode ser demonstrada
da seguinte maneira:
Desta forma, cria-se uma banda morta
entre o “setpoint” que acionará o sistema de refrigeração e o “setpoint” que
desligará este mesmo sistema. Isso acaba com o problema de oscilações no
acionamento do sistema, por outro lado, aumenta ainda mais a variação da
variável controlada y(t), portanto, quando precisamos que o controle seja
mais eficaz ao ponto de manter essa variação de temperatura do ambiente em
níveis muito pequenos faz-se necessário a aplicação de métodos de controle mais
complexos.
Controle Proporcional
Depois do controle ON-OFF, em termos de
simplicidade, pode-se utilizar o controle proporcional que já permite alguma
melhora na resposta da saída controlada e que trata basicamente de se pegar o
erro do sistema e(t) e aplicar um ganho fixo (constante de
proporcionalidade Kp) antes da realimentação.
Figura - Sistema
de Controle Proporcional
Assim, o sinal aplicado à planta, será
sempre inversamente proporcional ao módulo do erro e(t).
Quanto maior o ganho Kp, menor será o erro em regime
permanente, ou seja, melhor a precisão do sistema em malha fechada. O erro e(t) será diminuído com o aumento de Kp, porém nunca poderá ser anulado. Em
contrapartida, quanto maior o ganho Kp, mais oscilatório o sistema tende a
ficar, podendo chegar à instabilidade do sistema.
Figura - Ação proporcional: Kp=1 (contínuo),Kp=2 (tracejado), Kp=4(pontilhado).
Controle Integral
O controle integral consiste, assim
como seu nome sugere, em se aplicar ao sinal de controle u(t), um ganho Ki proporcional a integral do sinal de erro e(t), onde Ki é a constante ajustável.
Figura - Sistema de Controle Integral
Se o
valor de e(t) for dobrado, então o valor de u(t) varia duas vezes mais rápido.
Para erro nulo, o valor de u(t) permanece estacionário. A ação de
controle integral é muitas vezes denominada de controle de reestabelecimento
(reset) (OGATA).
O Controle integral não é isoladamente uma técnica de controle. Deve ser
associada a outras como a proporcional-integral ou, como nosso caso, a
proporcional-integral-derivativa (PID).
Controle Derivativo
Assim como o controle integral, o
controle derivativo não é uma técnica de controle utilizada isoladamente.
A ação de
controle derivativa, quando adicionada a um controlador proporcional, propicia
um meio de obter um controlador com alta sensibilidade. Uma vantagem em se usar
ação de controle derivativa é que ela responde à taxa de variação do erro
atuante e pode produzir uma correção significativa antes de o valor do erro atuante
tornar-se demasiadamente grande. O controle derivativo, portanto, antecipa o
erro atuante e inicia uma ação corretiva mais cedo, tendendo a aumentar a
estabilidade do sistema (OGATA, 2003).
Figura - Sistema
de Controle Derivativo
Controle Proporcional Integral Derivativo (PID)
A combinação das técnicas de controle
proporcional, integral e derivativo é conhecida como controle PID, que soma a
ação proporcional às ações integral e derivativa. A ação integral elimina o
erro em um regime estacionário, pois apresenta um resultado não nulo quando o
erro do sistema for nulo. Por outro lado, a ação integral pode introduzir
oscilação na resposta devido ao aumento da ordem do sistema. A ação derivativa
antecipa o erro e produz uma ação corretiva mais cedo e proporcional à taxa de
variação do erro atual.
Figura - Sistema
de Controle PID
Implementação do PID Digital
A equação do PID é bastante complexa e
quando executado em tempo real durante o processo de controle exige muito
processamento. Os controladores comerciais destinados a esta tarefa, devido ao
custo de produção, não possuem capacidade para processar todos os cálculos
desta equação em tempo real, desta forma, para aplicarmos o controle PID em um
microcontrolador da Família PIC, por exemplo, temos que deduzir a equação para
um formato digital e adotar algumas aproximações nos termos integral e
derivativo.
Existem inúmeras maneiras para
discretização, ou aproximação digital, de uma equação em tempo discreto,
objetivando a obtenção final da equação das diferenças a ser implementada no
microcontrolador.
Aproximação da derivada pelo método de Euler:
Uma das técnicas mais comuns para fazer
estas aproximações consiste na estratégia de derivação por emulação. Nela a
primeira derivada no tempo de uma função é aproximada por uma diferença no
tempo conforme a equação:
Pode-se observar o resultado desta
aproximação na figura a seguir, comparando u(t) original com o sinal discretizado:
Figura - Gráfico
de aproximação pelo método de Euler
Aproximação da integral pela transformação de Tustin
Esta regra consiste em aproximar uma
integral pela regra trapezoidal, da seguinte maneira:
no intervalo T e defini-se u(kT) como a área acumulada dos trapézios até o
instante kT , restando:
Esta técnica está representada na
figura a seguir:
Equação Final do PID Digital - Linear
O próximo passo é a sintonia deste sistema e a determinação dos ganhos Kp, Ki e Kd, mas isso merece um artigo inteiro, dada sua complexidade. Enquanto isso, para estudar o funcionamento da equação, podemos determiná-los empiricamente durantes os testes de nossa aplicação. A sintonia deve ser realizada sempre que ocorram mudanças significativas nas variáveis do processo, como o aumento da carga térmica do ambiente ou potência do trocador de calor, no caso de um sistema de refrigeração, por exemplo.
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